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线性代数基础：求逆矩阵发布于：2023-02-14 11:53:44 原创发表查看：161 讨论：0

计算机图形学中经常用到逆矩阵的概念，作为和矩阵相乘的结果，今天在写一套插件用到了，特别总结一下。
求逆矩阵有多种方法：伴随矩阵法、初等变换法、定义法。我只介绍前两种，定义法没有过多涉及，见谅。

一，伴随矩阵法

伴随矩阵求逆矩阵的公式：

A*为伴随矩阵，|A|为A的行列式。若|A| = 0，则矩阵不可逆；否则可逆。

1.首先判断矩阵A是否可逆;
2.求每个元素的代数余子式,伴随矩阵就是代数余子式的转置形式。

目前接触到的矩阵框架（webgl）都是使用此方法，虽然计算量比较大，但是有公式可循，还好。
例如，有矩阵A

伴随矩阵为：

以下过程是在编辑器中写的，截图了：

当矩阵是大于等于二阶时，主对角元素是将原矩阵该元素所在行列去掉再求行列式，当矩阵的阶数等于一阶时，伴随矩阵为一阶单位方阵。二阶矩阵的求法口诀：主对角线元素互换，副对角线元素加负号。

二，初等行变换

若A是一个n阶可逆矩阵，则有

这一过程中经历了一系列初等行变换，并且我们下结论说：

，中的 A−1 就是A的逆矩阵！按逻辑，你还不能确定这个就是它的逆矩阵，你现在还没有理由确定，所以我们暂定这个

用初等行变换求逆矩阵的方法经常用到，就是就是对矩阵(A,E)进行初等行变换，使其变成(E,B),则B就是A的逆矩阵A(–1)。求解的原理是这样的：对矩阵A进行一次初等行变换相当于对矩阵A左乘一个初等矩阵Pi,那么对A进行一系列的行变换得到单位矩阵E，相当于左乘了一系列的初等矩阵P1、P2、...、Pi后得到E。把这些可逆的初等矩阵乘在一起，就是P=P1*P2...*Pi，且PA＝E,那么P就是A的逆矩阵。所以当(A E)中左边的A经过初等行变换得到E时，右边的单位矩阵E也就经过相应的行变换，相当于左乘矩阵PE=P=A(–1)。

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